komp­lek­si­ar­voi­nen

Edellä oleva määritelmä ei kuitenkaan ole ainoa mahdollinen: vaihtoehtoisesti voidaan tarkastella seisovien aaltojen (reaalinen k, kompleksinen ω) ajallista vaimenemista tai sallia, että ryhmänopeus on kompleksiarvoinen suure.

Cauchyn -Riemannin yhtälöt ovat reaaliarvoisten funktioiden u (x, y) ja v (x, y) osittaisdifferentiaaliyhtälöt: (1a) ja (1b) Tässä kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f on esitetty reaalimuuttujien reaaliarvoisten funktioiden u ja v avulla seuraavasti: , missä u (x, y) on funktion f reaaliosa ja v (x, y) sen imaginaariosa.